求解3道高中数学题？急！急！急！

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/26 23:35:18
1、如图（
），已知半圆的直径AB=2，点C在AB的延长线上，BC=1，点P为半圆上的动点。以PC为边作等边△PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC的面积的最大值。2、已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，求cosAcosC的取值范围。3、在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C所对的边，若2c*(cos(B/2))的平方＝a+c,sinA=4/5,c=10,求△ABC的面积。

1.解答：
以O为坐标原点，AC为x轴建立直角坐标系。
设∠POC＝θ，0<θ<π.则
C(2,0),P(cosθ,sinθ),
|PC|^2=(2-cosθ)^2+(sinθ)^2=5-4cosθ.
记S=四边形OPDC的面积,则
S＝(1/2)|PO|*|OC|sinθ+(√3/4)|PC|^2
＝sinθ+(√3/4)(5-4cosθ)
＝sinθ-√3cosθ+5√3/4
＝2sin(θ-π/3)+5√3/4
所以当θ＝5π/6时,S(max)=2+(5√3/4).
即四边形OPDC的面积的最大值是2+(5√3/4).

2、解答：
A、B、C成等差数列→A+C＝2B→B＝60°，A+C＝120°
t＝cosAcosC
＝cosAcos(120°-A)
=coA[(1/2)cosA+(√3/2)sinA]
=(1/2)(cosA)^2+(√3/2)sinAcosA
=(1/4)(1+cos2A)+(√3/4)sin2A
=(1/2)[(1/2)cos2A+(√3/2)sin2A]+1/4
=(1/2)sin(30°+2A)+1/4
=(1/2)sin(270°-2C)+1/4
=-(1/2)cos2C+1/4.
所以
当C＝90°时，t(max)=1/2+1/4=3/4;
当C＝0°时，t>t(min)=-1/4;
所以-1/4<t≤3/4.
即cosAcosC的取值范围是(-1/4,3/4].

3、解答：
2c*(cos(B/2))的平方＝a+c→c(1+cosB)=a+c
用正弦定理代入化为：sinC(1+cosB)=sinA+sinC
即sinCcosB=sinA,
所以sinCcosB＝4/5,
又sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC
所以4/5=sinBcosC+4/5
所以sinBcosC＝0，而sinB≠0，
所