复赛试题—能量项链

【问题描述】
在Mars星球上，每个Mars人都随身佩带着一串能量项链。在项链上有N颗能量珠。能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子，这些标记对应着某个正整数。并且，对于相邻的两颗珠子，前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。因为只有这样，通过吸盘（吸盘是Mars人吸收能量的一种器官）的作用，这两颗珠子才能聚合成一颗珠子，同时释放出可以被吸盘吸收的能量。如果前一颗能量珠的头标记为m，尾标记为r，后一颗能量珠的头标记为r，尾标记为n，则聚合后释放的能量为（Mars单位），新产生的珠子的头标记为m，尾标记为n。
需要时，Mars人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子，通过聚合得到能量，直到项链上只剩下一颗珠子为止。显然，不同的聚合顺序得到的总能量是不同的，请你设计一个聚合顺序，使一串项链释放出的总能量最大。
例如：设N=4，4颗珠子的头标记与尾标记依次为(2，3) (3，5) (5，10) (10，2)。我们用记号⊕表示两颗珠子的聚合操作，(j⊕k)表示第j，k两颗珠子聚合后所释放的能量。则第4、1两颗珠子聚合后释放的能量为：
(4⊕1)=10*2*3=60。
这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为
((4⊕1)⊕2)⊕3）=10*2*3+10*3*5+10*5*10=710。
【输入文件】
输入文件energy.in的第一行是一个正整数N（4≤N≤100），表示项链上珠子的个数。第二行是N个用空格隔开的正整数，所有的数均不超过1000。第i个数为第i颗珠子的头标记（1≤i≤N），当i<N< span>时，第i颗珠子的尾标记应该等于第i+1颗珠子的头标记。第N颗珠子的尾标记应该等于第1颗珠子的头标记。
至于珠子的顺序，你可以这样确定：将项链放到桌面上，不要出现交叉，随意指定第一颗珠子，然后按顺时针方向确定其他珠子的顺序。
【输出文件】
输出文件energy.out只有一行，是一个正整数E（E≤2.1*109），为一个最优聚合顺序所释放的总能量。
【输入样例】
4
2 3 5 10
【输出样例】
710
一定要有讲解！
一定要Pascal代码！

Noip2006-1

转载自 宇宙新秀

能量项链

(energy.pas/c/cpp)

很好的一道题目。这道题目在公布成绩之前，曾经是我最有把握的题目。但是，我的这道题目最后没有得分，我不知道是我疯了，还是SDTSC疯了。

很明显是DP。有人说这与那道经典的“石子归并”有些相同。

我们以珠子划分阶段。F[I,J]代表从第i颗珠子到第j颗珠子的合并最大值。tou[i]和wei[i]分别代表珠子i的头部数字和尾部数字。我们很容易得出动态转化方程：

F[I,J]=max(F[I,K]+F[K+1,J]+tou[i]*wei[k]*wei[j]);（1≤i≤n,i≤j≤n,i≤k≤j-1）

边界：F[I,I]=0

最后ANS=F[1,n]

这样的dp时间复杂度为O（n^3）.

我们需要每一次枚举项链切开的位置。总共有n种切开的方式，每种方式进行一次dp，而且更新最优结。这样总的时间复杂度为O(n^4)。对付大的数据似乎力不从心。。。。

考虑优化：此题的关键在于将链线性化，从而能够一次dp出解。所以我们把数组开大到n×2；

F[I,J]=max(F[I,K]+F[K+1,J]+tou[i]*wei[k]*wei[j]);（1≤i≤n,i≤j≤n＋i,i≤k≤j-1）

边界：F[I,I]=0

最后ANS=max(F[i,i+n-1]); （1≤i≤n）

这样dp一次即可出解，时间复杂度为O(n^3)。

const maxn=100;

var tou,wei:array[1..2*maxn] of integer;

n,i,j,k,p:integer;

f:array[1..maxn*2,1..maxn*2] of longint;

max:longint;

begin