2\什么是完数，及什么是完数的因子?

完数必备条件的公式、推理及其证明

一提起数，一般人总认为它是枯燥无味的，不像音乐那样动听，不像小说那样迷人，不像美术作品那样使人陶醉。其实，这是很不公正的。不要说数和人类生活有着密不可分的联系，就说数本身，也充满着无穷的趣味呢。

我们举个例子。数6，连小学生也认得的。它等于1＋2＋3，而且，1、2、3都是6的整约数，也就是说，他们都能除尽6。这是众人皆知、最简单的知识。可是谁去注意过它呢？也许有人会说，这有什么奥秘呢？不是很平常、很简单的小学算术吗？

不！公元前两千多年，古希腊人就不是这样简单地看问题的。他们对于数6等于它所有整约数（6本身除外）的和这个奇妙的事实很感兴趣。他们把6命名为“完数”（即完全的数）。
当时，很快找到了第二个完数28：1＋2＋4＋7＋14=28。不久，大数学家欧几里德找出了第三个完数496和第四个完数8128。而第五个完数33550336则是在欧几里德死后一千零五年才找到的。

“完数”引起了世界上许多著名数学家的兴趣。从1644年至1957年9月，经过许多著名数学家的辛勤劳动，共找到了十八个完数，第十八个完数约2000位。
6的整约数是：1、2、3。

28的整约数是：1、2、4、7、14。

496的整约数是：1、2、4、8、16、31、62、124、248。

……

我们发现，每个完数的所有整约数正好都是公比为2的两个等比数列。假如我们把它们由小到大依次排列，并把前一个数列的项数用P表示，那么，前一个等比数列的首项是1，末项是2的P－1次方；后一个等比数列的首项是2的P次方－1，末项是（2的P次方－1）·2的P－2次方。如果用S和S’分别表示两个数列之和，则：

S= 1－2的P－1次方·2 / 1－2 = 2的P次方－1

S’=（2的P次方－1）－（2的P次方－1）·2的P－2次方·2 / 1－2 =（2的P次方－1）·2的P－1次方－（2的P次方－1）
=（2的P次方－1）·（2的P－1次方－1）

现在，我们再用W来表示完数，那么：

W= S＋S