高二数学题 已知直角三角形的周长为定值2P,求它面积的最大值,并求当面积最大时的斜边长

a+b+c=2p a^2+b^2=c^2
S=p*r r为直角三角形的内切圆半径 r=p-c
由于p已知 只需求出r的最大值就可以了 所以只需求出c的最小值就可以
根据(a+b)^2<=2(a^2+b^2) 所以(2p-c)^2<=2c^2
解得c 的范围是 c>=2p(√2-1)
S=p*r<=p*[2p(√2-1)]=2(√2-1)p^2
当a=b时取得 c=（2√2-2）p