求详解 abc均为正数 证明(c/a+b)+(b/a+c)+(a/b+c)≥3/2

左边=(a+b+c)/(a+b)+(a+b+c)/(b+c)+(a+b+c)/(c+a)-3
=0.5*(a+b+b+c+c+a)*[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]-3
≥0.5*{3*[(a+b)(b+c)(c+a)]^1/3}*{3*[1/(a+b)*1/(b+c)*1/(c+a)]^1/3}-3
=0.5*3*3-3=3/2
证毕
或利用柯西不等式
[c/(a+b)+a/(b+c)+b/(a+c)]*[c(a+b)+a(b+c)+b(a+c)]>=(a+b+c)^2
而[c(a+b)+a(b+c)+b(a+c)]=2(ab+bc+ac)<=2/3*(a+b+c)^2
这是因为(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2>=0
所以c/(a+b)+a/(b+c)+b/(a+c)>=(a+b+c)^2/[2/3*(a+b+c)^2]=3/2

证:a、b 、c均为正数
(a+b)*(a-b)^2+(b+c)*(b-c)^2+(c+a)*(c-a)^2≥0
2a^3+2b^3+2c^3-ba^2-ca^2-ab^2-cb^2-ac^2-bc^2≥0
2a^3+2b^3+2c^3≥ba^2+ca^2+ab^2+cb^2+ac^2+bc^2
6abc+2(ba^2+ca^2+ab^2+cb^2+ac^2+bc^2)+2a^3+2b^3+2c^3≥6abc+3(ba^2+ca^2+ab^2+cb^2+ac^2+bc^2)

2(3abc+ba^2+ca^2+ab^2+cb^2+ac^2+bc^2+a^3+b^3+c^3)≥3(2abc+ba^2+ca^2+ab^2+cb^2+ac^2+bc^2)

abc+ac^2+bc^2+c^3)=c(ab+ac+bc+c^2)=c(b+c)(a+c)......(1)
abc+ab^2+cb^2+b^3=b(a+b)(b+c)......(2)
abc+ba^2+ca^2+a^3=a(a+b)(c+a)......(3)
(1)+(2)+(3),
3abc+b