1若f(x)是定义在(0，+∞）上的增函数，且对一切x，y∈(0,+∞)都有f(x/y)=f(x)-f(y).求证f(xy)=f(x)+f(y)

f(1)=f(1)-f(1)=0
f(xy)=f(x/(1/y))=f(x)-f(1/y)=f(x)-f(1)+f(y)=f(x)+f(y)

解：
因为对一切x，y∈(0,+∞)都有f(x/y)=f(x)-f(y).
所以f(y)=f(y/1)=f(y)-f(1)
所以f(1)=0
所以f(1/y)=f(1)-f(y)
所以f(1/y)=-f(y)
所以f(xy)=f[x/(1/y)]=f(x)-f(1/y)=f(x)+f(y)

证明：
令y=1
f(x)=f(x)-f(1)
所以有f(1)=0
再令x=1
有f(1/y)=f(1)-f(y),即f(1/y)=-f(y)

令t=1/y
f(xt)=f(x)-f(1/t)
有f(xy)=f(x)-f(1/y)=f(x)+f(y)

证毕

由题意有：
f（x/y)=f(x)-f(y)
令其中的y为1/y得：
f(xy)=f(x)-f(1/y)=f(x)-{f(1)-f(y)} (y不等于0）
再令x=y=1有：
f(1)=f(1)-f(1)=0
代入上式得：
f(xy)=f(x)+f(y)

f(x/y)=f(x)-f(y)
f(x)=f(y)+f(x/y)
设y=x x/y=x
f(xy)=f(x)+f(y)