由四点画正方形

楼主，对最后确定A的那部分做了补充。

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是可以的。
四边形每条边都与原来的正方形的边组成一个直角三角形。
一共有四个这样的直角三角形
四边形的边是这4个直角三角形的斜边

当仅已知四边形的时候，以每条四边形的边为直径做圆，一共做四个。那么正方形的四个顶点一定分别在这四个圆上。（因为与两点连线互相垂直的点的轨迹就是一个圆）。

在一个圆上任取一点A,那么连接这点与所在圆的直径的两个端点，然后再延长这两条线段，与另外的两个圆又交于两点。这两点与A连接的线段长应该相等（正方形边长相等）。让A变动所在圆上的位置，只有一个位置能保证两线段相等。于是确定点A的位置。这样就能恢复出正方形了。
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如果要确定A点的位置。要用到些三角函数的知识。
下面的思路是，先求出表达式来，然后再寻找用尺规做出表达式来的方法。

这里不太好画图。我用字母来说好了。
设四边形MNPQ（字母顺时针排列！）.以MN为斜边的直角三角形另一个顶点为U，以QM为斜边的顶点为W，以NP为斜边的顶点为V。
为了运算方便，设下面的常量：
角QMN大小为A，角MNP大小为B，MQ长b，MN长a，NP长c.
设变量角UNM=x
则角UMN=90-x,角WMQ=180-A-(90-x),
角PNV=180-B-x
MU+WM=UN+NV
列方程：
bcos(90-A+x)+asinx=acosx+ccos(180-B-x)
打开，整理得：
sinx/cosx = (a-ccosB-bsinA)/(a-bcosA-csinB)

接下来就是用尺规做出来。
x是某个直角三角形的一个锐角。
这个直角三角形的x所对的边长为a-ccosB-bsinA
这每一项都能用尺规做出来（你可以看三角函数的定义）。于是可以用尺规做出这条边长。
x相邻的直角边长