寻蛋形曲线公式

卵型曲线是指两个同向圆曲线由一段缓和曲线连接起来构成的复曲线。
求卵型曲线的方法很多，如下

Egg shaped curves:
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Sei P1 = (x1,y1) ein Punkt des Kreises um (0,d) mit Radius a.
(1) (x1-d)^2 + y1^2 = a^2
Sei P2 = (x2,y2) ein Punkt des Kreises um (0,0) mit Radius b.
(2) x2^2 + y2^2 = b^2
Seien die Punkte P1 und P2 auf einer Geraden durch den Ursprung.
(3) y1/x1 = y2/x2

Gesucht ist die Gleichung fuer Q = (x1,y2).
Vorgehen: Elimination der Variablen x2 und y1.
Loese (1) nach y1^2 auf und (2) nach x2^2 auf.
(1') y1^2 = a^2 - (x1-d)^2
(2') x2^2 = b^2 - y2^2
Quadriere (3).
(3') x2^2 y1^2 = x1^2 y2^2
Setze (1') und (2') in (3') ein.
(4) (b^2 - y2^2)(a^2 - (x1-d)^2) = x1^2 y2^2
Transformation x1 - d -> x und y2 -> y.
(5) (b^2 - y^2)(a^2 - x^2) = (x+d)^2 y^2
Expansion
(6) b^2 x^2 + a^2 y^2 + 2d xy^2 + d^2 y^2 = a^2 b^2
(7) x^2/a^2 + y^2/b^2 (1 + (2