一道基本又不会写的函数题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/17 12:52:15
设函数 f(x)是定义在(-L,L)上的函数,证明 f(x)可以表示成为一个奇函数和一个偶函数之和,这道题是不是条件太少了?这类条件几乎没有的题,一般都从哪入手啊?定义好象也帮不上忙,反证法又不知道从哪下手.....

函数 f(x)是定义在(-L,L)上的函数就说明了其满足奇函数或者是偶函数的条件，定义域连续并且关于原点对称，函数连续，可以说明f(x)可以表示成为一个奇函数和一个偶函数之和

证明：
cos f(x)的定义是(-L,L)，关于原点对称，
设g(x)是奇函数，h(x)是偶函数
f(x)=g(x)+h(x) [1]
so f(-x)=g(-x)+h(-x)=-g(x)+h(x) [2]
由[1]，[2]得
h(x)=[f(x)+f(-x)]/2
g(x)=[f(x)-f(-x)]/(-2)
so f(x)=[f(x)-f(-x)]/(-2) + [f(x)+f(-x)]/2
so f(x)可以表示成为一个奇函数和一个偶函数之和