UC知道证明三角形的三边的高交于一点
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/10 17:55:30
用初中圆的知识证明
已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点连接CO并延长交AB于点F
求证：CF⊥AB
证明：
连接DE
∵∠ADB=∠AEB=90度
∴A、B、D、E四点共圆
∴∠ADE=∠ABE
∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC
∴ΔAEO∽ΔADC
∴AE/AO=AD/AC
∴ΔEAD∽ΔOAC
∴∠ACF=∠ADE=∠ABE
又∵∠ABE+∠BAC=90度
∴∠ACF+∠BAC=90度
∴CF⊥AB
因此三角形三条高交于一点
其中为什么A,B,D,E四点共圆？？？
已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点连接CO并延长交AB于点F
求证：CF⊥AB
证明：
连接DE
∵∠ADB=∠AEB=90度
∴A、B、D、E四点共圆
∴∠ADE=∠ABE
∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC
∴ΔAEO∽ΔADC
∴AE/AO=AD/AC
∴ΔEAD∽ΔOAC
∴∠ACF=∠ADE=∠ABE
又∵∠ABE+∠BAC=90度
∴∠ACF+∠BAC=90度
∴CF⊥AB
因此三角形三条高交于一点
其中为什么A,B,D,E四点共圆？？？
A、B、D、E四点共圆
∵∠ADB=∠AEB=90度(同一条直径所对的圆周角是90度)
都是以AB为直径的圆上
如何证明三角形三条高交于一点？
用高中的知识要简单得多，比如解析法、向量法
下面用初中的知识，不过必须用四点共圆，
如图，设高BE、CF交于H ，连结AH并延长交BC于D，连结DE、EF、FD
只要证明AD⊥BC即可。
因为∠HFA＋∠HEA＝180°，所以A、F、H、E四点共圆 ，所以∠EAH＝∠EFH
同理：B、C、E、F四点共圆，所以∠EFC＝∠EBC ，
由上得：∠EAD＝∠EBD ，所以A、B、D、E四点共圆
所以∠ADB＝∠AEB＝Rt∠
所以AD⊥BC