UC知道数列的极限证明中,ε必须小于1吗?
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/22 07:21:43
比如证明中出现这么一个式子：
n<lnε,为了让n>N,所以要取N＝－lnε
这时候，如果ε小于1，那么lnε就是负的，所以－lnε就是正的，N就符合定义中的“正整数”的范围。
但如果ε＝10呢？lnε就等于1了，那么N＝-1，不就不符合定义了吗？
我看到例题中这么说：取ε>0（设ε<1），……，请问，这么设是必要的吗？还是在后面需要的时候，再设ε<1？？盼望指点！
补充一下问题，这个证明题是这样的：求证：当n趋近于无穷大时，0.9999……99（n个9）的极限是1
我证明时是这么想的：0.99999……（n个）＝【1-10的（-n）次方】，|【1-10的（-n）次方】-1|<ε,则（-n）*ln10<lnε，则n>-lnε，问题就出在这里，为了使n>N，就要取N＝-lnε，所以，根据数列极限的定义来说，为了N为正整数，则（-lnε）就要是正整数。那lnε就得为负数，那么ε就得是小于1的正数。但ε是随意给定的，如果是ε＝10，则-lnε＝-ln10＝-1，那么N就是负数了，跟定义矛盾了，所以就不能证明极限是1了！
这么说，大家能看的明白吗？？？谁能帮我讲一下，这里的ε怎么设，有必要设ε<1吗？是每道题都要设吗？定义上没有解释啊！苦闷啊....
n<lnε,为了让n>N,所以要取N＝－lnε
这时候，如果ε小于1，那么lnε就是负的，所以－lnε就是正的，N就符合定义中的“正整数”的范围。
但如果ε＝10呢？lnε就等于1了，那么N＝-1，不就不符合定义了吗？
我看到例题中这么说：取ε>0（设ε<1），……，请问，这么设是必要的吗？还是在后面需要的时候，再设ε<1？？盼望指点！
补充一下问题，这个证明题是这样的：求证：当n趋近于无穷大时，0.9999……99（n个9）的极限是1
我证明时是这么想的：0.99999……（n个）＝【1-10的（-n）次方】，|【1-10的（-n）次方】-1|<ε,则（-n）*ln10<lnε，则n>-lnε，问题就出在这里，为了使n>N，就要取N＝-lnε，所以，根据数列极限的定义来说，为了N为正整数，则（-lnε）就要是正整数。那lnε就得为负数，那么ε就得是小于1的正数。但ε是随意给定的，如果是ε＝10，则-lnε＝-ln10＝-1，那么N就是负数了，跟定义矛盾了，所以就不能证明极限是1了！
这么说，大家能看的明白吗？？？谁能帮我讲一下，这里的ε怎么设，有必要设ε<1吗？是每道题都要设吗？定义上没有解释啊！苦闷啊....
求证lim 0.9999……=1
首先，通项公式是Xn=1-10^-n
根据定义
对任意ε>0，为使|Xn-1|<ε
即 |1-10^n-1|=|-10^-n|=10^-n<ε
只需 n>-lnε
那么有
对任意的ε>0,都存在着N=max{[-lnε],0}，使当n>N时，有
|Xn-1|<ε成立
所以 lim 0.9999……=1
PS：当lnε是正数的时候，表示正个数列都满足|Xn-1|<ε
所以让N为0跟lnε的取整函数的最大的一个
最后感谢题主提醒错误，呵呵
你的东西我没看清楚。但是肯定是不一定的，看你放缩的过程
是的
恩