初中竞赛题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/22 01:35:27
证明：若梯形内部的3个点到梯形四边的距离之和相等，则此3点必共线

问题化为梯形ABCD中、DC//AB，梯形内的三点 P1、P2 、P3 ，如果到四边距离之和皆相等，那么，P1 、P2 、P3 三点共线
证明：先看P1，P2 两点，
作P1P2两端延长分别交AD、BC于M 、N，
再作P1E1⊥BC 于E1 ，P2E2⊥BC 于E2
P1F1⊥AD 于F1，P2F2⊥AD 于F2
因为DC//AB，则点P1到AB、CD的距离之和等于点P2到AB、CD的距离之和，即为梯形高。由已知可得P1E1+P1F1=P2E2+P2F2 。过点P1作AD的平行线、过点P2作BC的平行线得交点P（由于AD与BC不平行）。记P1P交P2F2于G，P2P交P1E1于H。
观察上式有P1H=P1E1-P2E2=P1F1-P2F2=P2G。
因为ΔPP1P2有两条高P1H=P2G，所以，ΔPP1P2是等腰三角形，则∠PP1P2=∠PP2P1。
故∠DMN=∠PP1P2=∠PP2P1=∠CNM 。
再用反证法证明点P3一定在P1P2上：假设点P3不在P1P2上，联结P1P3并两端延长分别交AD、BC于M',N'，易知点M',N'在MN的异侧；不妨假设M'在M上方，N'在N下方,根据三角形外角大于非对应内角，∠DM'N'>∠DMN,∠CN'M'<∠CNM。
于是得到∠DM'N'>∠CN'M'
又因为点P1到AD、BC的距离之和等于点P3到AD、BC的距离之和，由上述证明过程知必有∠DM'N'=∠CN'M' ,产生矛盾
因此P3必在P1P2h ,即P1，P2，P3三点共线
图见http://hi.baidu.com/mywings19/album/item/1cf19b255f2e9f6b34a80f5f.html

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