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来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/11 00:27:54
1.已知:在三角形ABC中,AB=AC=a.M为底边BC上任意一点,过点M分别作AB和AC的平行线交AC于P,交AB于Q.
(1)求四边形AQMP的周长;
(2)写出图中的两对相似三角形(不需证明);
(3)M位于BC的什么位置时,四边形AQMP为菱形?说明你的理由.
2.四边形是大家最熟悉的图形之一,我们已经发现了它的许多性质,只要善于观察,乐于探索,我们还会发现更多的结论.
(1)四边形(不是平行四边形)一条对角线上任意一点与另外两个顶点的连线,将四边形分成四个三角形,其中相对的两对三角形的面积之积相等.你能证明这个结论吗?试试看.
已知:在四边形ABCD中,O是对角线BD上任意一点;
求证:S三角形OBC乘以S三角形OAD=S三角形OAB乘以S三角形OCD.
证明:

分析：（1）根据三角形的面积公式，则应分别分别过点A、C，做AE⊥DB，交DB的延长线于E，CF⊥BD于F．然后根据三角形的面积公式分别计算要证明的等式的左边和右边即可；
（2）根据（1）中的思路，显然可以归纳出：从三角形的一个顶点与对边上任意一点的连线上任取一点，与三角形的另外两个顶点连线，将三角形分成四个小三角形，其中相对的两对三角形的面积之积相等．证明思路类似．解答：
证明：（1）分别过点A、C，做AE⊥DB，交DB的延长线于E，CF⊥BD于F，
则有：S△AOB= BO•AE，
S△COD= DO•CF，
S△AOD= DO•AE，
S△BOC= BO•CF，
∴S△AOB•S△COD= BO•DO•AE•CF，
S△AOD•S△BOC= BO•DO•CF•AE，
∴S△AOB•S△COD=S△AOD•S△BOC．（4分）；

（2）能．
从三角形的一个顶点与对边上任意一点的连线上任取一点，与三角形的另外两个顶点连线，将三角形分成四个小三角形，其中相对的两对三角形的面积之积相等．
或S△AOD•S△BOC=S△AOB•S△DOC，（5分）
已知：在△ABC中，D为AC上一点，O为BD上一点，
求证：S△AOD•S△BOC=S△AOB•S△DOC．
证明：分别过点A、C，作AE⊥BD，交BD的延长线于E，作CF⊥BD于F，
则有：S△AOD= DO•AE，S△BOC= BO•CF，
S△OAB= OB•AE，S△DOC= OD•CF，
∴S△AOD•S△BOC= OB•OD•AE•CF，
S△OAB•S△DOC= BO•OD•AE•CF，
∴S△AOD•S△BOC=S△OABR