数学天才帮个忙撒～

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/25 20:58:41
点C是线段AB上一点，分别以AB、BC为边在AB同侧作等边△ACD和等边△BCE，AE交DC于点M，BD交CE于点N，若AC＝a，BC＝b，求MN＝？
最好有详细过程 谢啦
最后答案的话应该是2ab/a+b

以A点为原点，AB为x轴，D点一侧为y轴的正方向建立直角坐标系

A(0,0)
C(a,0)
B(a+b,0)
D(a/2,根号(3)a/2)
E(a+b/2,根号(3)b/2)

直线AE:y=(根号(3)b/(2a+b))x
直线CD:y=-根号(3)x+根号(3)a

联立AE和CD的方程得到M点的纵坐标：根号(3)ab/(a+b)
类似的可以得到N点的纵坐标：根号(3)ab/(a+b)

所以MN//AB
所以三角形MNC是等边三角形
MN=MC

MC/AC=M的纵坐标/D的纵坐标

MN=MC=[根号(3)ab/(a+b)]/[根号(3)a/2]*a=2ab/(a+b)

很易求出△ACE≌△DCB,△CME≌△CNB
CN=CM,∠MCN=60,所以△CMN是等边三角形
CM是三角形ACE中线，所以ME/AM=CE/AC=b/a（可根据正弦定理证出）
MN平行于AB
MN/AC=EM/EA
MN=EM/EA*a=a*EM/(AM+ME)=a*b/(a+b)