nOBODY BELIEVED HIS REASON FOR BEING LATE

that
这是一个同位语从句

that引导
修饰reason

NOBODY（主语） BELIEVED（动词做谓语） （在这省略了‘that’）HIS REASON FOR BEING LATE（宾语） 【was】 his car broke down on the way （表语，用来描述迟到的原因）.

that
首先这是一个同位语从句。后句说明前面句子的意思。
因为——前后的句子的成分都是完整的，是独立的句子。
连接两个句子只能是连词和具有连词作用的成分，that是同位语连词。