一个与双曲线有关的题目

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/29 20:39:59
双曲线 x^2/a^2-y^2/b^=1;F为右焦点,P为曲线上一点,且P的X,Y(坐标)都大于0,M`为右准线上一点,M为左准线上一点,O为原点,且OFPM为一个平行四边行;又|PF|=λ|OF|;
1:求离心率e与λ的关系
2:λ=1时过F且平行于OP的直线交曲线于AB,|AB|=12,求直线和C的方程.

1.
设PM交右准线于M';左准线与右准线分别交x轴于C;PM交y轴于E
x²/a²-y²/b²=1
F(c,0)
|OF|=c
|PF|=λ|OF|=λc
左准线x=-a²/c
|OC|=a²/c
|PE|=|PM|-|MM'|=|OF|-2|OC|=c-2a²/c
e=|PF|/|PE|=λc/(c-2a²/c)=λc²/(c²-2a²)=λ(b²+a²)/(b²-a²)
e与λ的关系是e=λ(b²+a²)/(b²-a²)

2.
λ=1
|PF|=|OF|=c
e=(b²+a²)/(b²-a²)
e=c/a=√(b²+a²)/a
有(b²+a²)/(b²-a²)=√(b²+a²)/a
√(b²+a²)/(b²-a²)=1/a
a√(b²+a²)=b²-a²
a²(b²+a²)=(b²-a²)²
得b²=3a²
b=√3a
c=√(a²+b²)=√(a²+3a²)=2a
|PF|=|OF|=c=2a
|OC|=a²/c=a²/2a=a/2
有x²/a²-y²/3a²=1
|PE|=|PM|-|EM|=|OF|-|OC|=2a-a/2=3a/2
|MC|=√(|OM|²-|OC|²)=√(|PF|²-|OC|²)=√(2a)²-(a/2)²)=√15