派出所应承担什么责任？到哪个部门投诉？由哪个部门来追究其责任？

这种情况,你先搞清楚为什么不立案,是不是因为情节太轻,没到立案的程度

如果你要走投诉途径,可以写信或直接去人到市公安局\市信访办\市府市委办公楼\市纪委\市人大\市政协

如果你要走法律途径,先向市公安局申请行政复议,14天之后没有结果,或对结果不满意向市中级人民法院行政庭起诉市公安局

你可以到法院申请诉讼，但要看是否已过时效。