UC知道高中求解微分方程
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/18 04:55:58
高中数学原题：已知函数f（x）满足微分方程(dx/dy)*(d^2 y/dx^2)=k*(dy/dx)，其中k是一个常量，若在点（0，1）处dy/dx＝1，求当y＝2时dy/dx的值
我的解答过程是将dy/dx看作g（x），则原微分方程可以化为： g’（x）/g（x）＝kg(x),这样一来就将其转化为可分离变量的情形，但是答案的转化方法和我相似，但结果不一样，请问我的这个第一步是否正确？
谢谢指点！
我的解答过程是将dy/dx看作g（x），则原微分方程可以化为： g’（x）/g（x）＝kg(x),这样一来就将其转化为可分离变量的情形，但是答案的转化方法和我相似，但结果不一样，请问我的这个第一步是否正确？
谢谢指点！
你的“这个第一步”，我认为一点毛病都没有。答案是多少呢？
我也做一下，和你的答案以及书上的答案做个比较。
从你的问题看得出，你的数学功底已经不浅，所以我给出的过程就不需要过于细致了。
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g'(x) / g(x）＝k g(x)
g'(x)/g(x)^2 = k
dg(x)/g(x)^2 = k dx
∫dg(x)/g(x)^2 = ∫kdx
-1/g(x) = kx + 常数C
g(x) = 1/(C - kx)
从 x=0时、g(x) = 1 推出 C=1
g(x) = 1/(1-kx)
dy = dx/(1-kx)
∫dy = ∫[1/(1-kx)]dx
y = (-1/k)*ln(1-kx) + 常数D
从 y 图象通过 (0,1)，知道 D = 1
y= 1 - (1/k) * ln(1-kx)
y=2 时
2 = 1 - (1/k) * ln(1-kx)
-k = ln(1-kx)
e^(-k) = 1 - kx
将这个结果代入到 g(x)中
g(y=2) = 1/(1-kx) = 1/e^(-k) = e^k
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补充修改：
接到你的消息后，我又想了想。的确我的解法中有疏忽之处。
但书上的解法也不严密
首先给出一个不定积分公式
dy/dx = 1/(ax+b)
∫dy = ∫1/(ax+b) dx
y = (1/a)*ln|ax+b| + 常数
我的解法中，缺少了绝对值。
在这个思路下，最后的结论应该是
y= 1 - (1/k) * ln|1-kx|
（运算过程不变，只是把 括弧 改成 绝对值）
y=2 时
2 = 1 - (1/k) * ln|1-kx|
-k = ln