关于高等数学1

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/09 10:52:14
高等数学中16页 “f(x)的定义域为(-l,l),证明必存在(-l,l)上的偶函数g(x)及奇函数h(x)，使得f(x)=g(x)+h(x).”这一题所给的条件和要证明的结论分别是什么?该如何证明?
请不要直接抄书上的解答!要解释具体原因.

条件g(x)是偶函数
h(x)是饥寒数
f(x)是任意函数
他们的定义域都是（－1，＋1）
证明
存在g(x)和 h(x)
使得f(x)=g(x)+h(x)
证明
设
g(x)=(f(x)+f(-x))/2
h(x)=(f(x)-f(-))/2
其中
g(x)=g(-x)
h(x)=-h(-x)

所以
g(x)为偶函数
h(x)为饥寒数
f(x)=(f(x)+f(-x))/2+(f(x)-f(-x))/2
即
f(x)=g(x)+h(x)
必存在(-l,l)上的偶函数g(x)及奇函数h(x)，使得f(x)=g(x)+h(x).”
证明完毕

题目不是说得很清楚么 条件是 f(x)的定义域为(-l,l)(关键是(-1,1)关于0对称),结论是 存在(-l,l)上的偶函数g(x)及奇函数h(x)，使得f(x)=g(x)+h(x)
证明 就是 令G(X)=1/2(F(X)+F(-X)) H(X)=1/2( F(X)-F(-X))
易验证 他们满足题目的要求