如何运用韦达定理?举个例子,写出解题过程
来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/06/10 14:41:43
韦达定理(Weda's Theorem): 一元二次方程ax^2+bx+c (a不为0)中
设两个根为X1和X2
则X1+X2= -b/a
X1*X2=c/a
韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的,对一个n次方程∑AiX^i=0
它的根记作X1,X2…,Xn
我们有
∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)
∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)
…
∏Xi=(-1)^n*A(0)/A(n)
其中∑是求和,∏是求积。
如果一元二次方程
在复数集中的根是,那么
法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系,因此,人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的,韦达的16世纪就得出这个定理,证明这个定理要依靠代数基本定理,而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。
由代数基本定理可推得:任何一元 n 次方程
在复数集中必有根。因此,该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积:
其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。
韦达定理在方程论中有着广泛的应用。
例题 . 已知,m为实数方程x^2+2x+m=0,有两实根x1,x2求|x1|+|x2|的值。
解答: 判别式=4-4m>=0 所以: m<=1 (|x1|+|x2|)^2=x1^2+x2^2+2|x1x2| =(x1+x2)^2-2x1x2+2|x1x2| =4-2m+2|m| 当 0=<m<=1时,|x1|+|x2|=0 当m<0时, |x1|+|x2|=2(1-m)^1/2