设AB是抛物线y＝x2上的动弦，且｜AB｜＝a （a≥1是常数），求动弦AB中点M到x轴的最近距离.

1)解法一:设直线AB的方程为y=kx+b,A、B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),

由得x2－kx－b=0.

∴x1+x2=k,x1·x2=－b.

∴|AB|=|x1－x2|==a.

化简得b=.

点M到x轴的距离为d=y===

==［+(k2+1)－1］

≥［2·－1］=(2a－1).

当且仅当=1+k2,即k=±(a≥1)时“=”成立.

解法二:设A、M、B点的纵坐标分别为y1、y2、y3,A、M、B三点在抛物线准线上的射影分别为A′、M′、B′,由抛物线的定义,知

|AF|=|AA′|=y1+,|BF|=|BB′|=y3+.

∴y1=|AF|－,y3=|BF|－.

又M是线段AB的中点,

∴y2=(y1+y3)=(|AF|+|BF|－)≥ (|AB|－)= (2a－1).等号在AB过焦点F时成立.

∴当定长为a的弦过焦点F时,M点与x轴的距离最近,最近距离为(2a－1).

解:设直线AB:y=kx+b,y>0,k≠0的实数 
y=x^2=kx+b>0 
x^2-kx-b=0 
xA+xB=k 
xM=0.5(xA+xB)=0.5k 
yM=k*xM+b=0.5k^2+b>0 
b=yM-0.5k^2 
4b=4yM-2k^2 
xA*xB=-b 
(xA-xB)^2=(xA+xB)^2-4xA*xB=k^2+4b=k^2+4yM-2k^2=4yM-k^2 
(yA-yB)^2=k^2*(xA-xB)^2 
a^2=AB^2=(xA-xB)^2+(yA-yB)^2=(1+k^2)*(xA-xB)^2=(1+k^2)*(4yM-k^2)≥1 
a^2=(1+k^2)*(4