试说明，将和1+1/2+1/3+1/4+...+1/40写成一个最简分数m/n时，m不会是5的倍数。

原式=(40！+40!/2+......+40!/40)/40!
设40！=K5^m(K为不能整除5的整）
设a(n)=40！/n（n<=40)
显然当n不能整除5时有a(n)=ki*5^m(ki为不能整除5的整数）
1-40中能整除5的数为5.10.15.20.25.30.35.40
它们的最大公倍数为：3*7*8*25=4200
设M=40！/4200
显然M可表示为=Kj*5^(m-2)(kj为不能整除5的整数)
原式可改为（ki*5^m+Kj*5^(m-2)(4200/5+4200/10+...+4200/40)
=（ki*5^m+2283*Kj*5^(m-2)）/K5^m
=（ki*25+2283*Kj）/K*25（K系列均不能整除5）
故分子不可能时5的倍数

简单的说一下吧，设i=1+1/2+1/3+1/4+...+1/40
25i=25（1+1/2+1/3+1/4+...+1/40）=25×(1+1/2+......+1/4+1/6+......+1/39)+5*(1+1/2+...+1/4+1/6...+1/8)+1
设25×(1+1/2+......+1/4+1/6+......+1/39)+5*(1+1/2+...+1/4+1/6...+1/8)=p/q，p整除5，q不整除5.
25i=1+p/q
i=(p+q)/25q
p+q不整除5。。。。。

（1）
先证明n必为最小公倍数，而n显然包含5，从而m必不能被5整除。
// 事实上，对此题，也同样不能被2，2，2，2，2，3，3，3，5，5，7，
// 11，13，17，19，23，29，31，37整除（最大公倍数为这些的积）。
// 即40以内的素数，同时再加上不够的因子2^5<40,3^3<40,5^2<40

（2）下面用数学归纳法证明n必为最小公倍数

i)
k=1时，1=1，n=1;
k=2时，1+1/2=3/2，n=2；
ii)
假设