怎么证明椭圆一个端点和两个焦点连线夹角最大

椭圆上一点和两个焦点连线构成三角形，设两个焦点之间的距离是c，椭圆上的点和焦点的距离分别是a，b，此夹角为θ,(显然0<θ<π)则由余弦定理有
c^2=a^2+b^2-2abcosθ
=a^2+b^2-2abcosθ+2ab-2ab
=(a+b)^2-2ab(1+cosθ)
所以2ab(1+cosθ)=(a+b)^2-c^2
c是两个焦点之间的距离，是个定值。
由椭圆的定义，a+b也是定值，所以(a+b)^2-c^2是个定值，则2ab(1+cosθ)也是定值
因为当0<θ<π时cosθ是减函数，所以ab最大时，1+cosθ可以取到最小值，此时θ最大
由柯西不等式可得a+b是定值时，a=b时ab最大
而a=b就是端点。
因此命题得证。

用余弦定理很容易证明的