如果有一个质量只有一公斤的物体，离地球的距离

当然可以，只要放在5个朗格拉日点就可以了。

朗格拉日点——就是一个质量可以忽略不计的物体放在这个点可以和另外两个天体保持相对静止。
5个朗格拉日点中有三个符合楼主的要求，是3，4，5朗格拉日点。

悬 但公转轨道绝对不会像月球那样 因为它受太阳月亮和地球三个引力作用 还有它的公转周期不可能跟月球一样啊

这要看它的初速度,如果初速度和月球一样,那公转周期也和月球一样
如果方向和月球在同一直线上,速率比月球大可能做椭圆轨道绕地球转,如果这个速率超过了第一宇宙速度,这个物体将摆脱地球引力
如果方向和月球在同一直线上,速率比月球小,它将逐渐绕转到地球

情况比较复杂，要看你这个物体有没有初速度，以及速度方向、大小。
如果凭空以静止的形式出现或速度很小，会慢慢坠入地球大气层。
如果速度比较合适，会成为地球的卫星。
如果速度较大，则可能逃离地球的引力控制。

应该是可以的。和物体的质量没有什么关系嘛。不受月亮的影响的话。