我可以公司补回社会保险金吗

当然要单位给你补缴了,否则退休时不是亏了.
如果没有打算离开公司,可以给他们商量着来;如果不打算干了,直接劳动仲裁,除了给你补缴之外,或许还能得到补偿金.
没有签合同没有关系,只要有证据证明你是公司的员工就可以,例如有工资条,签到等等.

当然可以例如

可以是可以，恐怕比较麻烦，因为你没有签定劳动合同呀！