数列题 求高手作答 尤其是第三问

1）
因为点（An,An+1)在F（x）=x^2+2x的图像上
所以An+1=An^2+2An
两边同时加1得1+An+1=An^2+2An+1
所以1+An+1=(1+An)^2
两边取对数得
lg(1+An+1)=2lg(1+An)
所以[ lg(1+An) ] 是等比数列，公比为2，首项为lg3

2）
由上题可得 lg(1+An)=lg3*2^(n-1)
lgTn=lg(1+A1)+lg(1+A2)+……+lg（1+An)
=[lg3*(1-2^n)]/(1-2)
=lg3*(2^n-1)
所以Tn=3^(2^n-1)
An=3^(2^(n-1))-1

3）
Bn=1/An+1/(An+2)
通分后得到：
Bn=(2An+2)/(An^2+2An)………用An^2+2An=An+1
=(2An+2)/An+1…………………分子分母同乘以An
=(2An^2+2An)/(An*An+1)
=(2An^2+4An-2An)/(An*An+1)…用An^2+2An=An+1
=(2An+1-2An)/(An*An+1)
=2(1/An-1/An+1)
至此递推关系完成
所以Bn前n项和Sn为
Sn=B1+B2+……+Bn
=2(1/A1-1/A2+1/A2-1/A3……+1/An-1/An+1)
=2(1/A1-1/An+1)
=2(1/2-1/(3^(2^n)-1))
=1-2/(3^(2^n)-1)

证明Sn+2/(3Tn-1)=1

因为Tn=3^(2^n-1)
所以3Tn-1=3^(2^n)-1
因为Sn=1-2/(3^(2^n)-1)
代入即可得到Sn+2/(3Tn-1)=1。

希望我说的你能看懂。