已知线段AB的长度为3，两端均在抛物线x=y^2上，试求AB中点M到y轴最短距离时M的坐标

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/27 10:06:33

方法一：
设A的坐标为（yo^2，yo）B为（y1^2,y1)
所以中点坐标为（（yo^2＋yo）／2，（y1^2＋y1)/2)
根据两点的距离公式（yo^2-y1^2）^2＋(y0-y1)^2=9 ①
根据中点到y点距离有d^2=（(y1^2+y0^2)/2）^2 ②
化简①代入②式得d关于y0的方程，求导，令导数等于零得出y0的值
再把y0代入①，从而可得m的坐标为：（9/4，0）
方法二：
因为抛物线是关于x轴对称的，当AB与y轴平行的时候中点到y轴的距离最短．M点在x轴上，所以可设A（YO^2,Y0) B(Y0^2,-YO)
根根据两点的距离公式：2Y0＝3
从而得M的坐标为：（9/4，0）

准线x=-1/2
设M(x0,y0) A(x1,y1) B(x2,y2)
因为A,B两点到准线的垂线，与准线、线段AB共同围成直角梯形，而M到准线的垂线是其中位线。则有以下关系：
x0+1/2=1/2[(x1+1/2)+(x2+1/2)]
所以，x0的值是与AB两点到焦点的距离是相关的。
设焦点为C,AC+BC>=AB
当线段AB经过点C时等号成立

所以，x0+1/2=1/2[(x1+1/2)+(x2+1/2)]=3/2
x0=1

设直线AB：y=k(x-1/2)
联立方程：x=y^2,y1^2+y2^2=2(因为x1+x2=2)
可解出y、k值 k=1，y=1/2

累死了，懂了吗？

上面那个做错了，误人子弟啊，只有当焦点在AB上才最短呢！

任取一条WO=3，且W，O是抛物线x=y^2上的点。
设W（L^2，L）O（K^2，K）
则WO中点到Y轴距离为（L^2+K^2）/2
由由均值不等式的变形可以知道（L^2+K^2）/2≥LK
（当且仅当L=K时取到=）
所以L=K时WO中点到y轴的距离最短
即WO垂直于X轴，此时WO为AB
所以M到Y轴最短距离为(3/2)^2=2.25

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