Euler法的改进

欧拉公式
　　y(xi+1)=yi+h*f(xi,yi)
　　且xi=x0+i*h (i=0,1,2,…,n-1)
　　局部截断误差是O(h^2)
　　改进的欧拉算法
　　先用欧拉法求得一个初步的近似值，称为预报值，然后用它替代梯形法右端的yi+1再直接计算fi+1，得到校正值yi+1，这样建立的预报-校正系统称为改进的欧拉格式：
　　预报值 y~i+1=yi + h*f(xi,yi)
　　校正值 yi+1 =yi+(h/2)*[f(xi,yi)+f(xi+1,y~i+1)]
　　它有下列平均化形式：
　　yp=yi+h*f(xi,yi)
　　且 yc=yi+h*f(xi+1,yp)
　　且 yi+1=(yp+yc)/2
　　它的局部截断误差为O(h^3)，可见，改进欧拉格式较欧拉格式提高了精度，其截断误差比欧拉格式提高了一阶。
　　注：欧拉法用差商 [y(xi+1)-y(xi)]/h 近似代替y(xi)的导数，局部截断误差较大；改进欧拉法先用欧拉法求出预报值，再利用梯形公式求出校正值，局部截断误差比欧拉法低了一阶，较大程度地提高了计算精度。

m函数：
function[x,y]=Euler_r(ydot_fun,x0,y0,h,N)

% ydot_fun 为一阶微分方程的函数
% x0,y0为初始条件；
% h为区间步长
% N为区间个数

x=zeros(1,N+1);y=zeros(1,N+1);
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h;
ybar=y(n)+h*feval(ydot_fun,x(n),y(n));
y(n+1)=y(n)+h/2*(feval(ydot_fun,x(n),y(n))...
+feval(ydot_fun,x(n+1),ybar));
end

主程序：
ydot_fun=inline('-2*y+exp(x)');