包含一个可数集的最小数域是不是一定是可数的?

是。
设A是可数数集，
Bi是用A中元素做i次运算生成的集合，则Bi是可数集。
令B为所有Bi之并，
则B为所求，且可数。

不是，反例：集合{1/n, n取正整数}可数，包含
它的最小数域是[1, 0},是不可数的。

不是..拿到这些题目举反例是一种方法,不过也有缺陷..
你要这样看,假如他成立的,然后你来证明,看是否矛盾.所以说应该学会反证法才是王道

不是的

应该不是，只不过反例还没想出来，或者说，我无法证明包含集合{1,e}的最小数域是R。以上反例都是不正确的，那{1,sqrt2}来说，包含该集合的最小数域不是实数，而是Q[sqrt(2)]={a+b*sqrt(2)|a,b有理数}≌Q^2，显然为可列集。{1/n, n取正整数}包含于Q，显然为可列集。

不是，因为最小的数域是有理数域