一道变态的反比例函数

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/09 17:53:41
已知直线y＝0.5x与双曲线y＝k/x（k〉0）交于A、B两点，且点A的横坐标为4。过原点O的另一条直线l交双曲线于P、Q两点（P点在第一象限），若由A、B、P、Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标。

PS：我们老师说有4解，但需要舍去2个

请说明详细过程，谢谢。

解：
容易求双曲线方程为 y=8/x
它与直线的两交点坐标为A(4,2),B(-4,-2)
设另一直线方程为y=kx,显然,k>0
它与双曲线的两交点坐标为P(x1,y1),Q(x2,y2)
联解 y=8/x ，y=kx 得
x1=根号(8/k),x2=-根号(8/k)
y1=根号(8k),y2=-根号(8k)
所以AB在X轴上的投影长度为8
AB在Y轴上的投影长度为4
PQ在X轴上的投影长度为 x1-x2=2根号(8/k)
PQ在Y轴上的投影长度为 Y1-Y2=2根号(8k)
四边形APBQ的面积可表示为
S=½×8×2根号(8k)=24-------------P点在A点左方的情况
或S=½×4×2根号(8/k)=24---------P点在A点右方的情况
解得 k=9/8或k=2/9
x1=8/3,y1=3或x1=6,y1=4/3
P点坐标为(8/3,3)或(6,4/3)
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你们老师说的四种情况应该是在不考虑A点在第一象限时算得的。

列个方程组就行了.以A B P Q 的坐标为变量
这个问题条件太多了,解不出来就去跳楼吧.
P在第一象限了,四个解中可能有的P不在第一象限.