UC知道求证：无中心群的自同构群也是无中心群
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/16 05:52:47
to baishimu:
谢谢你的回答，不过问题没有那么简单， 这里A的自同构群指从群A到A的所有自同构变换构成的群。
谢谢你的回答，不过问题没有那么简单， 这里A的自同构群指从群A到A的所有自同构变换构成的群。
用反正法：
假设其自同构群是含中心的群，则存在至少两个不同元素的运算满足交换律，根据同构映射的逆映射得到两个原象也满足交换率，这就得到了该群是无中心群的矛盾了。
用数学表达式：
设f是从A（关于*运算）到A（关于•运算）的自同构映射，其中A（关于*运算）是无中心群，设A（关于•运算）是含中心群，则存在p,q∈A,使得p•q=q•p,则根据同构映射存在a,b∈A,有imgf(a)=p,imgf(b)=q,且a*b=b*a,这说明A（关于*运算）是含中心群，矛盾！
假设其自同构群是含中心的群，则存在至少两个不同元素的运算满足交换律，根据同构映射的逆映射得到两个原象也满足交换率，这就得到了该群是无中心群的矛盾了。
用数学表达式：
设f是从A（关于*运算）到A（关于•运算）的自同构映射，其中A（关于*运算）是无中心群，设A（关于•运算）是含中心群，则存在p,q∈A,使得p•q=q•p,则根据同构映射存在a,b∈A,有imgf(a)=p,imgf(b)=q,且a*b=b*a,这说明A（关于*运算）是含中心群，矛盾！