求证:无中心群的自同构群也是无中心群

来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/06/16 03:24:06
to baishimu:
谢谢你的回答,不过问题没有那么简单, 这里A的自同构群指从群A到A的所有自同构变换构成的群。

用反正法:
假设其自同构群是含中心的群,则存在至少两个不同元素的运算满足交换律,根据同构映射的逆映射得到两个原象也满足交换率,这就得到了该群是无中心群的矛盾了。

用数学表达式:
设f是从A(关于*运算)到A(关于•运算)的自同构映射,其中A(关于*运算)是无中心群,设A(关于•运算)是含中心群,则存在p,q∈A,使得p•q=q•p,则根据同构映射存在a,b∈A,有imgf(a)=p,imgf(b)=q,且a*b=b*a,这说明A(关于*运算)是含中心群,矛盾!

假设其自同构群是含中心的群,则存在至少两个不同元素的运算满足交换律,根据同构映射的逆映射得到两个原象也满足交换率,这就得到了该群是无中心群的矛盾了。

用数学表达式:
设f是从A(关于*运算)到A(关于•运算)的自同构映射,其中A(关于*运算)是无中心群,设A(关于•运算)是含中心群,则存在p,q∈A,使得p•q=q•p,则根据同构映射存在a,b∈A,有imgf(a)=p,imgf(b)=q,且a*b=b*a,这说明A(关于*运算)是含中心群,矛盾!