在圆O中,半径为4,角AOB=60度.点C为弧AB中点,CM垂直OA,CN垂直OB,垂足分别为点M,N

(1)由于C为弧AB中点,则∠MOC=∠COB(等弧所对的圆心角相等)
又CM垂直OA,CN垂直OB,则易知△OMC≌△ONC
则OM=ON,又∠AOB=60度,则△OMN为正三角形.
又OC=4,∠AOC=30度,则MO=2(√3)=MN

(2)MN长度不变.延长OB,AC交于H,作∠BOG=90度与CM交于G,作MF⊥GO于F,ME⊥OB于E.
因为∠AOB=60度,∠CMO=90度,∠CNO=90度,∠GOB=90度,
则CN‖GO,∠OGM=30度,∠G=60度,∠H=30度.设ON=x,由CO=4易知CN=√(16-x^2)
又NH=(√3)×CN=√(48-3x^2)=y
则OH=x+y,则MH=(√3/2)×OH=(√3)(x+y)/2
则ME=OH/2=(√3)(x+y)/4,OE=(√3/3)×ME=(x+y)/4
则EN=ON-OE=x-(x+y)/4=(3x-y)/4
EN^2+ME^2=[(3x-√(48-3x^2))^2]/16+[(√3)(x+√(48-3x^2))/4]^2
=[9x^2-6x√(48-3x^2)+48-3x^2]/16+[3x^2+6x√(48-3x^2)+3×48-9x^2]/16 分子相加,合并同类项得:
=[(9-3+3-9)x^2+(6x-6x)√(48-3x^2)+48+144]/16
=[144+48]/16=12=MN^2
则MN为定值,为√(12)=2(√3)
(虽然复杂,但这是我现在能所达最大限度了,希望能理解)

2*根号3