UC知道高一数学～～～～急！！！
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/14 19:11:48
F(x)=ax^3+bx^2+x+1和g(x)=ax^2+x,a>0,b∈R且x*f(x)-g(x)≥0对一切实数x恒成立。
1、证明（2a-1）^2+b^2≤1
2、求当a^2＋b^2取得最大值时，f（x）和g（x）的解析式。
1、证明（2a-1）^2+b^2≤1
2、求当a^2＋b^2取得最大值时，f（x）和g（x）的解析式。
1.
xf(x)-g(x)
=ax^4+bx^3+(1-a)x^2
=x^2[ax^2+bx+(1-a)]
因为x^2>=0对一切x恒成立，又xf(x)-g(x)≥0恒成立，
所以ax^2+bx+(1-a)≤0对一切实数x恒成立，
所以a>0并且判别式b^2-4a(1-a)≤0,
又b^2-4a(1-a)=b^2+4a^2-4a+1-1=b^2+(2a-1)^2-1≤0，
所以（2a-1）^2+b^2≤1，
证毕。
2.
因为b^2≤1-(2a-1)^2=4a-4a^2
所以a^2+b^2≤4a-3a^2≤4/3
当a^2+b^2取最大值时，a=2/3，故b=2根号3/3
此时f(x)=(2/3)x^3+(2根号3/3)x^2+x+1，g(x)=(2/3)x^2+x