已知M(4,2),N(1,-1),点P在Y轴上,求使得PM+PN最段的P点坐标

设直线MN方程为y=ax+b
则:2=4a+b
-1=a+b
解得:a=1,b=-2
所以,方程为y=x-2
与Y轴交点为(0,-2),这便是P点
即:P点坐标为(0,-2)

作点N(1,-1)关于Y轴的对称点N'(-1,-1),
连接MN',
设MN'的解析式为y=kx+b,
因为点M(4,2),N'(-1,-1)在直线MN'上,
所以有4k+b=2,(1)
-k+b=-1,(2),
(1)-(2)得5k=3,
所以k=3/5,
所以b=-2/5,
所以直线MN'的解析式为y=3x/5-2/5,
令上述解析式中x=0,得y=-2/5,
所以直线MN'与Y轴的交点坐标为(0,-2/5),
即使得PM+PN最段的P点坐标为P(0,-2/5).

因为如果不是P(0,-2/5),那么P,M,N'三点组成了一个三角形,而三角形两边之和大于第三边.

很简单!
找出和M关于Y轴对称的点R,则R(-4,2)
直线NR与Y轴的交点就是P了.
P(0,-2/5)
(因为PM+PN=PR+PN,当P在N,P的连线上时,PR+PN最短!)