能发生聚合反应的有机物一定是不饱和的吗

这要看不饱和如何定义。
如果把含双键或三键视为不饱和，那么答案是不一定，因为有些成环的且只含单键的物质可以发生开环聚合；
但是如果以不饱和度来定义是否饱和，那么答案是一定的，环是要算在不饱和度中的

是的.
如果饱和的话是没法再加入新东西的.

不一定。聚合分为加合和缩合。
能发生加合反应的有机物都是不饱和的，如烯烃；
能发生缩合反应的有机物则不一定是不饱和的，如1,6-己二酸和1,6-己二胺发生缩合反应制取尼龙6,6。其中1,6-己二胺就是饱和的分子。