高考数学题~~~

因为0<a<1 0<b<1 0<c<1
所以(a+b+c)^2=2^2
a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=4
a^2+b^2+c^2=4-2(ab+bc+ac)
因为0<a<1 0<b<1 0<c<1
所以0<ab<1 0<ac<1 0<bc<1
所以0<ab+bc+ac<3
所以 0<4-2(ab+bc+ac)<2
所以 0<a^2+b^2+c^2<2

做这种题一定要考虑边界是不是最佳的
问题 已知a+b+c=2 0<a<1 0<b<1 0<c<1
求 a的平方+b的平方+c的平方的取值范围?
一方面
a^2+b^2+c^2>=ab+ac+bc=((a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2))/2
3(a^2+b^2+c^2)>=(a+b+c)^2=2^2=4
a^2+b^2+c^2>=4/3(=当且仅当a=b=c=2/3时取到)
另一方面
a趋近于1，b趋近于1，c趋近于0时不等式趋于2
故范围[4/3，2）
小于3一定是错的，因为三个数不会同时趋于1
小于2的证明比较麻烦，好像是竞赛要求了，就不写了，这种题一般是选择填空，大致判断一下就行

∵a+b+c=2
∴（a+b+c)(a+b+c)=4
∴a*a+b*b+c*c+2ab+2bc+2ca=4
又∵a*a+b*b≥2ab
b*b+c*c≥2bc
c*c+a*a≥2ca
∴a*a+b*b+c*c+2ab+2bc+2ca=4≤3（a*a+b*b+c*c）
∴a*a+b*b+c*c≥4/3
当且仅当a=b=c时取“=”
综上所诉：4/3≤a*a+b*b+c*c＜3

我认为：由于当a=b=c时，三者的平方才最小等于4/3，而三者又小于3.<