用代数证明原始直角三角形的一些性质

1 假设a、b、c都不能被5整除，由于a、b、c的形式可表示为5k+1,5k+2,5k+3,5k+4，k是非负整数
由于(5k+1)^2≡1^2≡1 (mod 5)
(5k+2)^2≡2^2≡4 (mod 5)
(5k+3)^2≡3^2≡4 (mod 5)
(5k+4)^2≡4^2≡1 (mod 5)
则a^2=c^2-b^2=(c+b)(c-b)必能被5整除（因为c+b与c-b中必有一个能被5整除），即a能被5整除，矛盾！所以a、b、c中有能被5整除的。

假设有一个以上的数能被5整除，我们知道被5整除的数的平方也能被5整除，那么它们的平方和或平方差也能被5整除，所以a、b、c三个数都能被5整除。这与gcd(a,b,c)=1矛盾！

所以a,b,c中有且仅有一个能被5整除

2 若a、b能同时被3整除，则c也能被3整除，与gcd(a,b,c)=1矛盾，所以a、b不能同时被3整除。
由于(3k+1)^2≡(3k+2)^2≡1 (mod 3)
所以a^2+b^2≡0+1≡1 (mod 3) 或者a^2+b^2≡1+1≡2 (mod 3)
即无论如何c不能被3整除

既然c不能被3整除，即a^2+b^2=c^2≡1 (mod 3)，所以a^2、b^2中必有一个≡0 (mod 3)，即必有一个能被3整除，且仅有一个。