以半径为1的圆内任一点为中心作弦，求弦长超过圆内接等边三角形边长的概率

这一点必须在内接等边三角形的内切圆内

圆心到内接等边三角形顶点的距离＝圆半径＝1
内接等边三角形的内切圆半径
＝圆心到内接等边三角形边的垂直距离
＝圆心到内接等边三角形顶点的距离÷2＝0.5

大圆面积＝∏
小圆面积＝∏/4

概率＝小圆面积/大圆面积＝25％

贝特朗(Brtrand)奇论

几何概率在现代概率概念的发展中曾经起过重大作用．19世纪时，不少人相信，只要找到适当的等可能性描述，就可以给概率问题以唯一的解答，然而有人却构造出这样的例子，它包含着几种似乎都同样有道理但却互相矛盾的答案，下面就是一个著名的例子。

贝特朗奇论：在半径为1的圆内随机地取一条弦，问其长超过该圆内接等边三角形的边长 sqrt(3) 的概率等于多少？

解（一）任何弦交圆两点，不失一般性，先固定其中一点在圆周上，以此点为顶点作一等边三角形，显然只有落如此三角形内的弦才满足要求，这种弦的另一端跑过的弧长为整个圆周的1/3，故所求概率为1/2
（二）弦长只跟它与圆心的距离有关，而与方向无关，因此可以假定它与某一直径，当且仅当它与圆心的距离小于 1/2 时，其长度才大于sqrt(3) ，因此所求概率为 1/3
（三）弦长被其中心唯一确定，当且仅当其中点属于半径为 1/2 的同心圆内时，弦长大于sqrt(3) ，此小于圆的面积为大圆面积的1/4 ,因此所求的概率为1/4

同一问题有三种不同的答案，细究原因，发现是在取弦时采用不同的等可能性假设。在第一种解法中，假定端点在圆周上均匀分布，在第二种解法中则假定弦的中心在直径上均匀分布，而第三种解法中又假定弦的中点在圆内均匀分布。这三种答案是针对三种不同的随机试验，对于各自的随机试验而言，它们都是正确的。

因此，在使用术语“随机”、“等可能”、“均匀分布”等时，应明确指明含义，这又因试验而异。

1899年贝特朗在巴黎出版《概率论》，书中对几何概率提出了批评，并以生动的实例引起大家的注意。这种善意的批评，推动了概率论的发展。