高数一题 急

b.当f(x)是偶函数,F(x)必是奇函数
至于这两个～～
由于F(X)有一个可爱的常数C在后面
所以按狭义的奇偶性来看的话 一个函数如果不通过原点那么肯定不存在奇性 由于那个可爱的C不能保证函数通过原点
所以不能说“必是”
所以这两个是错误的

由于函数是连续的
你可以联系一下原函数（积分）的几何意义

c.当f(x)是单调函数,F(x)必是单调增函数
f（x）＝F'(x)
所以当f(x)>0
F(X)增加
当f（x）<0
F(X)减少
显然不单调 因为单调的条件是只增加 或者只减少

d.当f(x)是周期函数,F(x)必是周期函数

由于函数是连续的
你可以联系一下原函数（积分）的几何意义
如果f（x）是永远大于0的
那么它下面的面积随着x增大而增大
如果这样的话 F(X)就是单调函数了 所以不是周期函数

a.当f(x)是奇函数,F(x)必是偶函数
还是像上题一样利用几何性质
把函数F(X) 想像成∫（0，x） f（x）dx
首先忽略函数下面积的正负
由于f（x）是奇函数 所以0左右两边函数的形状是一样的 所以下面面积也相等
至于符号 0左边的函数＝负右边的函数
但是如果是朝左数面 还要在结果上加一个负
所以两个负抵消了

更妙的一点是 无聊F(X)后面的函数最后的常数项是多少 都不影响它的偶性

所以答案是A!

F(x)=∫(0->x)f(t)dt+C,F(-x)=∫(0->-x)f(t)dt+C=-∫(0->x)f(-u)du+C(令u=-t)=-∫(0->x)f(-t)dt+C,
这样你就能在a,b之间选出a是对的,而b要成立,必须满足c=0,所以a对b错
至于C,f(x)=2x,F(x)=x^2+C是反例．
至于d,f(x)=f(x+T)两边积分得：F(x)+C1=F(x+T)