一道求函数取值范围的题

函数f(x)在R上具有单调性,
①先假设它单调递增，则：
f(x+1)- f(x)≥0
即|x+1+1|+a(x+1)-|x+1|+ax≥0
所以|x+2|+a-|x+1|≥0
而由含有绝对值的不等式定理得：
0≤|x+2|+a-|x+1|≤|x|+|2|+a-(|x|+|1|)
化简得：a≥-1
②假如它单调递减，则：
f(x+1)- f(x)≤0
即|x+1+1|+a(x+1)-|x+1|+ax≤0
同理化简可得：a≤1
所以-1≤a≤1
此题的关键，我个人认为还是紧扣“单调性”，由于函数中还有绝对值，所以再利用“含有绝对值的不等式定理”，从而判断出a的取值范围，希望于你有所启发。

在求单调性时，f(x+1)- f(x)能取等号么？