高二数列题（高分）

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/11 12:23:46
已知数列an的前n项和Sn满足Sn=1-2an/3,求lim(a1S1+a2S2+……anSn)?

要有详细的解题过程，谢谢！

∵ A<n>=S<n>-S<n-1>=1-(2/3)*A<n>-1+(2/3)*A<n-1>
∴ (5/3)*A<n>=(2/3)*A<n-1>
A<n>=(2/5)A<n-1>
∵ S1=A1
∴ A1=1-(2/3)A1 A1=3/5
∴ 此数列为一个等比数列。q=2/5<1
∴ S<n>=A1/(1-2/5)=(5/3)A1=1

a1S1+a2S2+……anSn=A1-(2/3)A1^2+A2-(2/3)A2^2+……+An-(2/3)An
=(A1+A2+……+An)-(2/3)(A1^2+A2^2+……+An^2)
=1-(2/3)[A1^2+(4/25)*A1^2+(4/25)^2*A1^2+……+(4/25)^n*A1^2]
=1-(2/3)A1^2[1/(1-4/25)]
=1-(2/3)*(9/25)*(25/16)
=1-3/8=5/8

=lim(S1a1+S2a2+…Snan)=lim〔Sn-2(a1平方+a2平方+…an平方）〕=1

A1=1-2A1/3 A1=3/5 N>=1时An=Sn-Sn_1=-2An/3+2An_1/3整理得An/An_1=2/5又S2=1-2A2/3得A2=6/25所以An=(3/5)*(2/5)(n-1)〔n-1是冥〕