UC知道简单的半群问题
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/18 08:31:09
证明：任一有限半群必有幂等元（a为幂等元：a*a=a）。
我想不出来，希望高人指点！
我发现有限半群有一特点：存在r,s,t∈有限半群，使得(r^n)*s*(t^n)=s
(n=1,2....)
但此结果对问题的证明几乎没什么帮助
我想了好多的方法，都不成功，似乎用归纳假设法，当n=1,2时很容易证明问题是对的，但之后很不好想，无法继续下去
谢谢回答的每一位！
由于半群运算满足封闭性,则对于a*b=@，@也应属于半群，而且没有一个现成的规则一定就能保证“a*a不等于a*b”，所以我认为
metallicanko的证明有一定的问题，我觉得还要用到半群的结合律这一重要性质，不过谢谢metallicanko，希望你能继续完善这个证明。
我前些天已对此问题有了一些头绪，但想得到metallicanko的回应，所以等到最后一天才公布，可惜metallicanko没有继续对你的证明进行完善，我只好用我的证明，希望你能提出建议。我怕问题在此写不下，就用另一个叫做Dirichlet的进行回答。你的建议可以回复至我的邮箱：7047454@163.com 在此忠心谢谢你的回答！
我想不出来，希望高人指点！
我发现有限半群有一特点：存在r,s,t∈有限半群，使得(r^n)*s*(t^n)=s
(n=1,2....)
但此结果对问题的证明几乎没什么帮助
我想了好多的方法，都不成功，似乎用归纳假设法，当n=1,2时很容易证明问题是对的，但之后很不好想，无法继续下去
谢谢回答的每一位！
由于半群运算满足封闭性,则对于a*b=@，@也应属于半群，而且没有一个现成的规则一定就能保证“a*a不等于a*b”，所以我认为
metallicanko的证明有一定的问题，我觉得还要用到半群的结合律这一重要性质，不过谢谢metallicanko，希望你能继续完善这个证明。
我前些天已对此问题有了一些头绪，但想得到metallicanko的回应，所以等到最后一天才公布，可惜metallicanko没有继续对你的证明进行完善，我只好用我的证明，希望你能提出建议。我怕问题在此写不下，就用另一个叫做Dirichlet的进行回答。你的建议可以回复至我的邮箱：7047454@163.com 在此忠心谢谢你的回答！
不会.
这是高几的题目啊,
我还、没上高中呢
无能为力~
数学归纳法试了没？
先证n=1时结论正确
再 假设：n=k时结论正确
推出n=k+1时结论正确（具体怎么推，不会）
其实这个问题是很简单的，用的时候也不用证明吧。
用假设法吧，假设不存在,设半群阶为n
a*a=a'不等于a
b*b=b'不等于b
...
n*n=n'不等于n
显然a' b' ... n' 互不相等
这样就找到了n个元素，由于半群运算满足封闭性，因此这n个元素都在半群中
但是，显然a*a不等于a*b,设a*b=@,则又找到了一个以上n个元素以外的一个元@，显然@也属于半群
这样的话半群种元素个数必然多于n,这与半群的阶为n矛盾
所以说，有限阶半群必然有幂等元。
而对于无限半群，以上的证明就没有半群的阶这一个限制了，因此结论对于无限半群不一定成立。
祝你成功！！