常微分方程应用题～～～在线等～～！！

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/07 23:42:51
1、一水艇以常速V0朝河的正对岸方向驶去，设河的两岸之间距离为L，且水流速度V1与离两岸的距离的乘积成正比（比例系数k），求水艇到达河对岸的位置。
答案是：处于下游kL^3/6v0处

2、一场降雪开始于午前某时刻，并持续到下午，雪量稳定，某人从中午开始清扫某街的人行道，他的铲雪速度和清扫面宽度均不变，到下午2点他扫了两个街区，到下午4点他又扫了一个街区，问雪是什么时候开始下的？
答案是：午前（根号5）-1小时

麻烦写下详细过程～～谢谢！！！

1
设离对岸的距离为x,经过的时间为t,那么x=(L-V0*t),
V1=kx*(L-x)
在dt的时间内，船将向下游多走V1*dt=kx(L-x)*dt
下游的位置
=∫{下限为0,上限为L/V0} kx(L-x)dt
=∫{下限为0,上限为L/V0} k(L-t*v0)(L-L+v0*t)dt
=∫{下限为0,上限为L/V0}k(L-t*v0)(v0*t)dt
=∫{下限为0,上限为L/V0}k(Lv0*t-v0^2*t^2)dt
=k[(Lv0*t^2)/2-(v0^2*t^3)/3]|{上面L/v0,下面0}
=k[(Lv0*L^2/v0^2)/2-(v0^2*L^3/v0^3)/3]
=k[L^3/6v0]
=kL^3/6v0

2.
为了简化问题，我们可以将街道考虑为一条直线，即清扫面宽度为0.并且设一个街区的长度为1。

设下雪速度为每小时每单位长度上雪量为1，铲雪速度为每小时雪量v。
假设中午开始清扫时已经有了积累的每单位长度的雪量c.所求的时间即为c/1=c.
2小时的清扫的雪量=2v
4小时清扫的雪量=4v
dt时间段内，清扫的雪量为v*dt.设清扫的街道长度为dx,
则上面的积雪量为：cdx+1*dt*dx=(c+dt)dx
有关系：v*dt=(c+dt)dx
dx=v*dt/(c+dt)
∫{下限为0，上限为2}[v*dt/(c+dt)]=2,即扫了两个街区。
∫{下限为0，上限为4}[v*dt/(c+dt)]=3，即扫了三个街区。
积分然后求出c即可