数列极限定义不懂帮忙分析 谢谢

我来给你分析。
首先，在这个数列极限的定义中，ε是任意给定的，这一点很重要。因为只有这样，不等式｜an-a｜< ε才能刻画出an无限接近a的意思。
第二，定义中的正整数N是与任意给定的正数ε有关的，当ε给定后，N也就相应地确定下来，但N不应该看作是唯一确定的。比如，给定ε后，N是由定义确定的一个正整数，则N+1，N+2也都可以作为定义中的正整数。
第三，有时为了表明N与ε有关，而把N记成N=N（ε），但这并不意味着N是ε的函数。
下面给出数列极限的几何解释。图你参考下面的内容自己画。
将数列an和极限a在数轴上的对应点表示出来，给定正数ε后，在数轴上作出点a的ε邻域（a-ε,a+ε)。因为不等式｜an-a｜< ε与不等式a-ε<an<a+ε等价，所以当n>N时，所有点an都落在开区间（a-ε,a+ε)内，而数列中只有有限项在该区间之外。

补充邻域的概念：设a和ε是两个实数，且ε>0，称开区间（a-ε,a+ε)是点a的ε邻域，ε叫半径。用不等式表示，点a的ε邻域为集合{x｜｜x-a｜<ε}。
明白了吗？

楼上说的非常详细，但比较深奥。
你要把ε想象的小到极点，几乎和0没有区别，｜an-a｜这个式子的意思就是说，a为这个无限数列中最大的数，超级大了，无穷大，而an中说了n为正无穷，也就是说an也是无穷大的，但在都是无穷时，有了非常微小的差距，他们无限接近，差距小到了几乎可以没有，这个差距都小于ε这个无限小的数。
至于定理，楼上也说了，你也讲了，就没什么好说的了。