帮我解决一个数学分析问题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/25 02:53:08
设数列{an}满足：存在正数M，对一切n有
An=|a2-a1|+|a3-a2|+-----+|an-a(n-1)|<=M
求证：数列{an}与{An}都收敛

A2=|a2-a1|
A3=|a2-a1|+|a3-a2|...
以此类推，
显然An是一个单调递增的数列
因为单调增的有界数列必收敛，所以An收敛
n->∞时,数列An的极限为b

|an-a(n-1)|=An-A(n-1)
两边令n->∞取极限。
lim{n->∞}|an-a(n-1)|=b-b=0
lim n->∞|an-a(n-1)|=0
根据定义，数列an也收敛

An显然成立

An>=|a2|-|a1|+|a3|-|a2|+-----+|an|-|a(n-1)|=|an|-|a1|
|an|<=M+|a1|
故也成立