单位应该为我补缴前五年的住房公积金吗

这个似乎你只能跟公司协商了

不过公司是应该给你上公积金的

如果你一开始就是在册的正式职工，单位就应该给你缴存住房公积金。但一下子补缴五年的住房公积金，恐怕相当困难。
你可以了解一下当初不上公积金的原因。只要问题在单位而不在你，就提出要求补缴。