高中数学圆锥曲线题

设椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的焦点为F1,F2,P为椭圆上任意一点，一条斜率为1/2的直线交椭圆于A,B两点，当a变化时可同时满足：（1）角F1PF2的最大值为π/3 （2）直线ax+y+1=0平分线段AB，求a的取值范围。

(1).当P为短轴的顶点时，角F1PF2最大
即此时△F1PF2是等边三角形
所以b^2=3c^2
所以b^2=3*(a^2-b^2)
所以 4b^2=3a^2 b=√3a/2 c=0.5a
(2).设AB直线方程为y=x/2+m
那么直线与椭圆的交点满足方程x^2/a^2+(x/2+m)^2/b^2=1
整理得：(a^2+4b^2)x^2+4ma^2x+4m^2a^2-4a^2b^2=0
所以x1+x2=-4ma^2/(a^2+4b^2)
y1+y2=(x1/2)+m+(x2/2)+m=(x1+x2)/2+2m=8mb^2/(a^2+4b^2)
所以AB的中点C(-m/2, 3m/4)
(这里要带入上面的结果b=√3a/2 c=0.5a进行化简）
C在直线ax+y+1=0上
所以 a(-m/2)+3m/4+1=0 得到
因为原方程△>0
所以 m^2-4m^2+3a^2>0 即 a^2>m^2 带入m=4/(2a-3)得到：a^2*(2a-3)^2>16得 a*(2a-3)>4或者a*(2a-3)<-4
解这两个不等式 得a>(3+√41)/4 或者a<(3-√41)/4

综上所述a>(3+√41)/4 或者a<(3-√41)/4

C

(1).当P为短轴的顶点时，角F1PF2最大
即此时△F1PF2是等边三角形
所以b≥√3c
所以b≥√3*√(a^2-b^2)
所以 a > b ≥√3a/2 > 0

(2).设AB直线方程为y=x/2+m
那么直线与椭圆的交点满足方程x^2/a^2+(x/2+m)^2/b^2=1
整理得：(a^2+4b^2)x^2+4ma^2x+4m^2a^2-4a^2b^2=0
所以x1+x2=-4ma^2/(a^2+4b^2)
y1+y2=(x1/2)+m+(x2/2)+m=(x1+x2)/2+2m=8mb^2/(a^2+4b^2)