这道题为什么均值加强不可以？？

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/22 05:44:23
已知定点A（2，0），圆O的方程为x²+y²=8,动点M在圆O上，那么∠OMA的最大值是（ ）
答案：π/4（四分之“派”）
我用余弦定理cos∠OMA=a²+b²-c²/2ab
在a=b时取到最值，结果得cos∠OMA=3/4
错在哪里了呢？？

你用均值不等式,要先满足3个条件,而这里根本不能直接取a=b,因为a,c都是定值.
正确做法是:
a=OM=r=2√2 ,c=OA=2
cos∠OMA=(a²+b²-c²)/2ab
=(4+b²)/(4√2b)
=1/(√2b)+b/(4√2)
这里才能用,因为这两者之积为定值:
≥√2/2
即∠OMA=π/4最大.

在a=b时，只是(a^2+b^2)/2ab取最值，但你忘了还有一个c^2/2ab

a=|OM|=2根号2，b=|AM|，c=|OA|=2
所以cos∠OMA=(8+b^2-4)/4b根号2=(b^2+4)/4b根号2
在此可以用不等式：b^2+4>=4b
所以cos∠OMA>=根号2分之一
即∠OMA最大为π/4