请问：动词+介词+句子？

He started his career in hope of finding a new income.
这里的hope是名词，in hope of是词组，意思是抱着……的希望
finding a new income不是句子 是一个动名词词组，介词后面可以加名词或者动名词词组 比如Thank you for your help.介词for后加的是名词help 而Thank you for helping me out.这里介词for后面加的就是动名词词组

这里hope是名词

你可以这样理解
hope (n.) of ... 为一个名词短语 后面的...修饰hope 什么什么样的期望

in hope 就是怀着期望的意思

整句下来就是
he stated his career in hope of ...
他 开始 他的 职业 怀着 ... 的 期望
他怀着...的期望开始了他的职业生涯

finding a new income 是个动名词短语
一般都说"动名词" 这样说有点太死板
实际上是 动态 名词短语
就是个名词短语不是句子 意思是 "寻找一份新收入"

他怀着寻找一份新收入的期望开始了他的职业

in hope of 是固定搭配，这里hope是名词
of 后的finding是动名词，可以跟一个句子

He started his career in hope of finding a new income =
He started his career + he hopes to find a new income