1,12,1212,121212,12121212,...的一个通项公式为?

f(n)=(4*10^n-5.5+1.5*(-1)^n)/33
绝对的最简式
过程如下：
此题分奇偶项来计算最为简便：
奇数项为1，121，12121，1212121，...(注意项数分别为1,3,5...)
偶数项为12,1212,121212,12121212,...(注意项数分别为2,4,6...)
那么分奇偶项的递推式很容易求得(观察就可以):
f(2k+1)=f(2k-1)+12*10^(2k-1);
f(2k+2)=f(2k)+12*10^(2k)(k=1,2,3,...)
对于奇数项,有
f(2k+1)-f(2k-1)=12*10^(2k-1)
即奇数项的前后项之差构成一个以10为公比的等比数列,
同理偶数项亦如此。
那么就可写出分奇偶项的通项公式如下：
f(2k+1)=1+12*10*(100^k-1)/(100-1)=1+(4*10^(2k+1)-40)/33
=4*10^(2k+1)/33-7/33;
f(2k+2)=12+12*100*(100^k-1)/(100-1)=12+(4*10^(2k+2)-400)/33
=4*10^(2k+2)-4/33;
(请一定注意分奇偶项时等比数列的公比是100,而非10)
那么进一步整理为用n代替奇偶分项:
f(n)=4*10^n/33-7/33.....n为奇数;
f(n)=4*10^n/33-4/33.....n为偶数
最后把两式中相异的常数通过(-1)^n表示出来即可:
-5.5+1.5*(-1)^n=-7.....n为奇数;
=-4.....n为偶数
这样通项就求出来了
Do you understand?

12*sigama(100^k)(k=0,...,n)